直观理解虚数
虚数的概念也困扰着我,就像自然常数一样e 同样,详情请见: 自然常数e到底在哪里?》。这些概念看起来太普通了。不太懂的人可能会认为这些都是数学家的事,或者对好奇的孩子说等你长大了就明白了。许多孩子童年对知识的渴望可能会受挫,这似乎是来自父母的安慰。所以,如果不主动去了解,不仅会错过很多机会,还会影响下一代。
在说虚数(Imaginary Numbers)在此之前,我们应该首先提到一个更熟悉的概念,即负数(Negative numbers)。小学数学介绍了负数的概念,也就是说,小学生应该能够自信地进行各种负数操作,但在公元18世纪之前,即使是当时欧洲著名的数学家也不容易理解负数的概念。
当时负数被认为是荒谬的,就像公元500年前毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯一样(Hippasus)发现无理数(又称无限无循环小数),如自然常数e,看:自然常数e到底在哪里?π,看:古人是怎么找到的?π是的?,它们不能写成两个整数之比)。
Hippasus
(图片来源:Wikipedia)
公元前5世纪,毕达哥拉斯学派认为万物皆数,世界上只有整数和分数(有理数)。然而,希帕索斯发现了令人震惊的无限循环小数,即无理数,这让学派感到恐慌,并引发了第一次数学危机。有传言说希帕索斯最终被他的老师毕达哥拉斯(Pythagoras)判决淹死了。还有一种说法是被学派门人淹死在海里。
当人们直观地感受到挑战时,人们往往首先选择拒绝。
例如,当时的人们可以直观地理解,如果你家里有四条狗,后来给别人三条狗,你还有一只,4-3只=1.但如果你家有三条狗,然后给别人四条狗,那是什么狗?
因此,当时人们无法直观理解的计算方法是不可接受的。因此,1759年英国数学家Francis Maseres,也会说:“Negative numbers darken the very whole doctrines of the equations.(负数使所有关于方程的理论毫无意义,即认为负数毫无意义)。
Francis Maseres
(图片来源:Wikipedia)
即使是欧拉(Leonhard Euler),也为负数的概念纠缠了一段时间。但现在,认为负数无用或不合逻辑是荒谬的。
为什么人们对负数有180的理解?°最大的变化是什么?因为我们发明了一个有用属性的理论数字,负数不能很好地描述我们可以看到和触摸的直观事物,但它可以很好地描述一种关系。
比如债务。人们会在日常开支中记录各种交易信息。如果你欠别人50元,你会记录-50元。赚了100元,可以直接用100元。+(-50)=50来计算自己的钱,而不需要更多的文字描述。负数已经植入了这种关系。既然有这个属性,为什么说是无用的?可见关系的重要性~
虚拟数字也有类似的命运。从它的名字可以看出,它似乎受到了非常不公平的待遇。一元二次方程x 2 =1有两个解,x=1和x=-1.方程x 2 =-1呢?在理解之前,我们不妨假设x 奇怪的概念,奇怪的概念往往有自己的价值。
对于方程x2 =-1.其实可以写成1·x·x =-1。我们将 “乘以x ” 被认为是一种变换,通过两次这种变换,我们最终将1变为-1。然而,我们不能通过乘以两个正数或两个负数来实现1到-1的转变。正如我们之前所说,转换并没有改变问题本身,而是改变了对问题的看法。感兴趣的可见:如何向文科学生解释傅里叶的转变?》。
但如果这种变化是旋转呢?听起来很新奇,但我们把它放在一边x 定义为逆时针旋转90°角可以在包含两个正交轴的坐标系上实现1-1的转换。
该坐标系构成的平面也称为复平面(横轴为实数轴(Real Dimension),纵轴为虚数轴(Imaginary Dimension))用字母i 在这种情况下x 用于指逆时针旋转90°角的变换。
(图片来源: betterexplained)
如果你想顺时针旋转900°呢?
答案是:乘以-i 就行了。
(图片来源: betterexplained)
若乘以两次-i,和乘以两次i 同样,得到的也是-1。
若分别乘以0次、1次、2次、3次、4次、5次i,可以得到:
可得出以下结论:
1=1(毫无疑问)i = i (感觉是废话)i 2=-(上述原因已说明)i 3=(i·i )·i=-1·i=-i(三次逆时针旋转900次°,相当于顺时针旋转90°)i 4=(i·i )·(i·i )=-1·-1=1(四次逆时针旋转90°,回到初始位置,循环结束)i 5= i 4·i=i(开始下一循环,逆时针旋转90°)
(图片来源: betterexplained)
同时,上图也不知不觉地将数从一维的实数域拓展到了二维的复数域,即实数与虚数的组合。或者说:复数=实部+i·虚部。例如,一个复数Z 的实部为1,虚部也为1,则可以得到复数Z =1+i。
复数Z 可以看作是复平面上的点(1,i ),如下图。即沿着实轴方向前进1,沿着虚轴方向再前进1,其在实轴与虚轴上的投影值即为实部与虚部的值,其长度或“模(Modulus)”为该点到原点的距离根号2,该点与原点连线后与实轴正方向的夹角为45°,该角度称为幅角(Argument)。既然又有长度又有方向,因此复数也就可以看做是复平面上的一个矢量。
(图片来源: betterexplained)
为了描述复平面上的任意一点,可以写成更为普遍的形式:
其中,a 和b 分别称为复数Z 的实部和虚部。
而Z 的长度或“模(Modulus)”为Z 点到复平面圆心处的距离:
Z 的幅角为
下面进行一个复数的计算实例,需要记住的一点是:两个复数相乘的结果就是:让它们的模长相乘得到最终的模长,让它们的幅角相加得到最终的幅角。
假设我们在一艘帆船上,现在帆船的航向是东北向,且每向东前进3个单位就会向北前进4个单位,如果现在想改变航向,使其沿逆时针方向旋转45°,那新的航向是怎么样的?
(图片来源: betterexplained)
如果放在复平面上,船的位置在圆心处,那么当前的航向可以直接用复数表示,即3+4i。如果想逆时针转45°可以让该复数与1+i 相乘,因为1+i 的幅角正好等于45°。
计算过程为:
画出图就很直观了,新的航向是每向西前进1个单位就会向北前进7个单位。
(图片来源: betterexplained)
幅角为tan-1(7/-1)=98.13°。
注意,如果要保持航速不变的话还需要在上面计算结果的基础上再除以根号2,因为复数1+i 的模为根号2。
既然复数自带旋转属性、有大小、有方向,而正是虚数的存在才将一维的实数域提升或者说扩展到了二维的复数域,那么还有什么理由说虚数很虚呢?
本文来源网络,侵权请联系删除!
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至827202335@qq.com 举报,一经查实,本站将立刻删除。文章链接:https://www.eztwang.com/dongtai/66886.html