资料来源：科研狗 作者：李建辉
直观推导“欧拉公式”
欧拉公式，无论是高等数学还是大学物理，都如影随形。由于其重要性和划时代意义，Euler Formula(欧拉公式)有许多伟大的别称，如“上帝公式”、“数学公式最伟大”、“数学家的宝藏”等。
Leonhard Euler (1707-1783)
(图片来源:Wikipedia)
欧拉公式广泛应用于数学、物理和工程领域。物理学家理查德·费曼(Richard Phillips Feynman)称欧拉公式为“我们的宝藏”和“数学中最非凡的公式”。
法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾经这样评价欧拉对数学的贡献:“读欧拉的作品，从任何意义上说，他都是我们的大师。”。
公元1748年发表的数学公式巧妙地将三角函数与复指数函数联系起来。
其中，e 为自然常数，i 为虚数，x是以弧度为单位的参数(变量)。
特别是当参数x等于时π欧拉公式可以简化为：
上式将是5个微妙而看似无关的数学符号e、i、π、0、紧密相连，它的美妙之处令人惊叹。e、i、π请分别参考弧度系统的详细介绍和直观推导：
自然常数e到底在哪里？
虚数i真的是“虚”吗？
古人是怎么找到的？π的？》
为什么一圈是360？°？》
伦纳德·欧拉简介
伦纳德·欧拉(Leonhard Euler) 他的父亲保罗，1707年出生于瑞士巴塞尔(Paul Euler)他的父亲原本想把欧拉培养成一名牧师，是一名基督教牧师。
但巧合的是，他的父亲和伯努利的家庭关系很好，伯努利的家庭是17〜瑞士在18世纪的一个著名家庭中，有许多著名的数学科学家。伯努利原籍比利时安特卫普，1583年被天主教迫害迁往德国法兰克福，最终在瑞士巴塞尔定居。以雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），约翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）这三个人成就最大。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的哥哥，也就是第一次发现自然常数e 的那位。丹尼尔·伯努利是约翰·伯努利的儿子。
约翰·伯努利很早就看到了欧拉的数学天赋。他说服欧拉的父亲保罗让欧拉在数学研究领域工作，并相信欧拉注定要成为一名伟大的数学家。
因此，13岁时进入巴塞尔大学的欧拉在周六下午跟随欧洲最好的数学家约翰·伯努利学习数学，尽管他根据父亲的意愿主修哲学和法律，并进入神学系。
与此同时，约翰·伯努利的两个儿子丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在俄罗斯皇家科学院工作，位于俄罗斯圣彼得堡。尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后，丹尼尔接替了他在数学/物理学院的职位，并推荐欧拉在数学/物理学院工作。
St. Petersburg Academy of Science
(图片来源:Wikipedia)
考虑到当时俄罗斯的持续动荡，欧拉于1741年离开圣彼得堡，在柏林科学院工作。
Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
(图片来源:Wikipedia)
在柏林，他出版了他最著名的两部作品：1748年出版的《无限小分析介绍》和1755年出版的《微积分介绍》。在《无限小分析介绍》中(Introduction to Analysis of the Infinity)欧拉提出了著名的“欧拉公式”。
推导欧拉公式
一开始介绍欧拉公式的一个通用写法是:
它将复合指数与正弦和余弦函数联系起来。那么这是怎么做到的呢？能更直观吗？
通常书中给出的是欧拉公式的验证，而不是推导。比如很多人会说，只要两边的自然指数函数和三角函数分别以泰勒级数展开，就可以得出两边相等的结论，但这只是验证而不是真正的推导，甚至费曼物理讲义中的计算也是如此。
为了让它更容易理解，试着用直观的方式推导它！
首先要记住的是，Euler方程等号两侧都可以看作是描述在一个圆上的位置或运动。
如果我们用三角函数来描述复平面原点单位圆上圆心的位置或圆周运动轨迹，当弧角为x时 弧度时，如图所示：
(图片来源: betterexplained)
cos(x)横坐标是当前圆周运动位置的横坐标
sin(x)纵坐标是当前圆周运动位置的纵坐标
所以采用复数cos(x)+i·sin(x)，可以描述单位圆周上点的位置或运动轨迹。
用复数来描述坐标很容易理解，那么欧拉公式左侧的复数指数代表什么呢？(由于欧拉公式左侧复数指数中的实际为零，只包括虚数，也可称为虚数)
让我们举一个与实际指数相关的例子。当你看到34时，你可以把它看作是4个3连乘，但你也可以从另一个角度看。因为作为底数，e 作为自然基础，它是所有连续复利增长过程的基本属性。其内涵是单位数量连续复利增值后的最终结果，单位时间增长率为100%。“连续复利”的定义请参见：“自然常数e在哪里？”。
我们可以将34改写为eln(3)·4，其数学内涵可以解释为4个单位时间增长后的最终结果，当单位时间增长率为ln(3)的连续复利时。
通式可写为：Q=erate·time。
其中，rate表示单位时间的增长率，time表示单位时间的增长率，Q 这意味着最终的增长结果是初始值的多少倍。
因此，当我们跳过数值本身的大小时，我们将“乘以实指数”视为初始值的“增长”或对初始值的“推动”作用（这里的“初始值”是具有大小和方向属性的“复数”。复数包括实数和虚数，表达式可写为：复数=实数+i·虚部）。
例如，实数3可以看作是:单位时间增长率为ln(3)≈1.1.初始值以该增长率连续复利增长，单位时间后最终结果为eln(3)·1=3。
在这里，我们只考虑当增长率为实数时的增长效应，而以实数为增长率的“增长”或“推动”是沿着初始值的方向进行的（复数可视为复平面上的矢量，因此具有方向属性）。
(图片来源: betterexplained)
而虚指数所带来的增长作用就和实指数有所不同，虚指数的增长作用的方向与初始值的方向垂直，且随着数值的变化始终保持着这种垂直的关系，详情请见：《虚数i真的很“虚”吗？》。这种增长方式并不改变数的大小，而只改变复数的方向！例如，让任何数乘以虚数i，都不会改变数的大小（或模长），而是改变数的方向。
在《自然常数e到底自然在哪？》中已经给出了自然底数e的定义式：
不过在上式中，我们假设的增长率为实数，但是，如果增长率为虚数呢？
其增长的示意图如下图所示：
(图片来源: betterexplained)
现在，“新的增长率”其实一直是沿着复数的垂直方向。并且这并不会改变复数的长度，但有人会提出质疑，因为上图所示的示意图是由一个个直角三角形组成，斜边当然比直角边更大。
但要知道，我们正在处理的是一个极限问题，当n→∞（其实n可以看作到达最后结果所经历的增长步数，这个增长步数是我们人为设定的，上图中的每个蓝色的直角边都代表一步），则蓝色的直角边将越接近斜边。
最终将得到的结果是：复数长度（模长）不变的连续旋转。这是处理其与正弦、余弦之间关系的核心概念，当复数的增量始终与复数的方向保持垂直，得到的轨迹必将是一个圆！
下面用公式来证明这一过程：
复数的模长为实部平方与虚部平方的和的平方根；转角为虚部除以实部的反正切值。
对于上式，如果n=1，则为1+i；（注意复数的运算法则是：所有模长增量相乘得到最终模长；所有转角增量相加得到最终转角）
如果上式中n=2，则为(1+i/2) 2；
即将n=1的一步完成增长变为了n=2的两步完成增长。
那么当n→∞时，分步增长就变成了连续增长问题；
实际上就是复数1+i·0逆时针旋转，每一小步的增长方向都和复数指向方向垂直，且保证模长不变，因此极限状态就是圆周运动，最后转动角度为1弧度。
即ei=cos1+i·sin1。
那对于更为普遍exi 呢？当n→∞时；
实际上也是复数1+i·0逆时针不断旋转，每一小步的转动方向都和复数指向方向垂直，且保证模长不变，因此极限状态也是圆周运动，所以当然可以用欧拉公式等号右边三角函数法定义的单位圆周上的点来完全等效（注意：这里的x 都采用弧度制）。
即exi=cosx+i·sinx
如果 x是随时间线性变化的参数，则可以得到以下三维等径螺旋线，该螺旋线在复平面上的投影是一个圆，投影点在圆上的运动为匀速圆周运动。
（图片来源：Brilliant）
这里，只要令x=π，就有eπi=cosπ+i·sinπ=-1或者eπi+1=0.
终于推导完毕！感谢能够坚持看完本篇推送。
Reference
[1] Leonhard Euler, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
[2] Russian Academy of Sciences, https://en.wikipedia.org/wiki/Russian_Academy_of_Sciences
[3] Berlin-Brandenburg Academy of Sciences and Humanities, https://en.wikipedia.org/wiki/Berlin-Brandenburg_Academy_of_Sciences_and_Humanities
[4] Intuitive Understanding Of Euler’s Formula, https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/
[5] Brilliant, https://brilliant.org/practice/the-pathway-to-eulers-formula/
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至827202335@qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。文章链接：https://www.eztwang.com/dongtai/99322.html
微信扫一扫 
