解决一元二次方程的方法有很多,包括公式法、配方法和因式分解法。公式法适用于所有一元二次方程,相对简单,只要记住求根公式。求根公式如下:
这个求根公式是针对一元二次方程的一般公式ax^2+bx+c=0得到的。然而,虽然简单的死记硬背可以记住公式,但它不是一个好方法。我们还需要分析公式的结构、来源、应用和扩展,以真正形成数学能力,不仅巩固公式的应用,而且整合自己的知识体系,节省劳动力和效率,可以在未来的实践中灵活应用。
使用公式法时,不一定要使用完整的公式。b^2-4ac又称一元二次方程的判别式,常用表示。判别式的符合性决定了一元二次方程根的情况:
当<0时,一元二次方程没有实数根。此时,在实数范围内,无需继续使用完整的公式求根。只需说明方程没有实数根。
当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,因为0的平方根仍然是0,所以方程的根是x=-b/(2a),正好是对应的抛物线y=ax^2+bx+c对称轴的形式。
只有当>0时,一元二次方程有两个不同的实数,需要使用整个求根公式。此时,只需替换方程的三个参数。但请注意,关于x的一元二次方程bx^2+ax+c=0或者ax^2-bx+c=直接用求根公式表示其根是完全错误的。这涉及到求根公式的来源。
求根公式实际上是一一元二次方程的一般公式ax^2+bx+c=0用配方法求根的结果。有多少学生会自己做这个操作?只要自己推出求根公式,就能理解求根公式的本质,以后就不会乱用求根公式了。
此外,因式分解法的本质实际上与求根公式有关x1,x2表示求根公式的两个不同结果,一元二次方程ax^2+bx+c=0因式分解是将方程写成(x-x1)(x-x2)=0形式。这样,因式分解不仅可以在有理数范围内进行,还可以在无理数范围内进行。
最后,一元二次方程的根与系数的关系,x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,也就是说,韦达公式实际上是由求根公式推出的。你知道吗?自己推导,你一定能在数学中找到更多的乐趣。
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